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　　请考生注意:

　　1、数学专业综合课试题含常微分方程、近世代敷、概率论与数理统计三门课程的内容,考生可任选其中二门课程的试题解答，多选无效。

　　2、每门课试题满分75分。常微分方程考试大纲

　　一、基本内容与要求

　　(一)初等积分法

　　1、熟练掌握变量可分离方程、可化为变量分离方程的类型、一阶线性方程与常数变易法、全微分方程与积分因子等的解法。掌握一阶隐方程与参数表示。

　　2、会应用降阶法解某些高阶方程。

　　3、会建立简单的微分方程模型。

　　（二）线性方程和线性方程组

　　1、掌握线性微分方程(组)的一般理论.

　　2、掌握常系数线性微分方程(组)的解法.

　　3、能应用线性方程(组)解的结构对方程的解做简单定性分析

　　4、了解二阶线性方程的幂级数解法和Laplace方法，

　　5、会应用二阶常系数线性方程分析振动现象。

　　6、会求二阶微分方程组的奇点及其类型

　　(三)基本定理

　　1、掌握初值问题的存在、唯一性定理和解的延拓及解关于初值的连续、可微性定理

　　2、掌握解的存在、唯一性定理及证明，近世代数考试大纲

　　一、基本内容与要求

　　(一)基本概念

　　1、理解集合与映射的概念，掌握集合之间的运算，能够在集合之间建立映射关系。并判断两个映射是否相同。

　　2、掌握代数运算与映射的关系，能够建立有限集合之间的运算表，并判断给定的运算是否满足结合律、交换律以及两种分配律。

　　3、掌握同态映射、同构映射和自同构的概念，理解同态与同态满射(满同态)的关系，井能判定映射是否是同态满射(满问表)，掌握具有问态满射(读网态》的集合之间的联系。能

　　够判定给定的映射和运算是否是同构关系，能建立两个集合之间的同构映射，

　　4、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理，熟练判定给定的关系是否是等价关系。并熟悉剩余类的基本特性，能够建立整数间给定模的剩余类。

　　（二）群论

　　1、掌握群的等价定义和例子，理解左、右单位元，左、右逆元的意义。掌握有限群、无限醇、群的阶和交换群的概念，充分拿握单位元，逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定义，

　　能熟练掌握群与阶的关系，会计算群元素的阶。

　　2、理解群同构、同态的定义，掌握一个群的自同构的集合也成群的证明，掌握群同态的有关性质，并能证明在同态满射下，单位元的像也是单位元。元a的逆元的像是a的像的逆元。

　　3、掌握循环群的定义和由生成元决定插环群的性质与特点，熟练掌握剩余类加群，并能证明任一循环群可以与整数加群或模为日的剩余类加群同构。以及与循环群同态的群的性质，

　　4、热练掌握变换的符号的运用和变换的乘法，能证明可以成群的变换只包含一一变换。且单位元一定是恒等变换。了解变换群的定义和性质，掌握任何一个群都同一个变换群同构的

　　定理的证明。掌握元素求逆等运算。

　　5、理解置换与置换群的定义与性质，拿握每一个n元置换都可以写成若干个互相没有共同数字(不相连》的循环置换《轮换》的乘积的证明与运用。理解有限群与置换群的同构关系。

　　6、掌握子群的定义，掌握群的子集成群的充分而且必要的条件与判定定理，并能掌强我出已知群的子群的一般方法，了解群与子群中的单位元与逆元的关系，以及子群与子群之间的

　　关系。

　　7、掌握陪集的定义，以及与等价关系和分类之间的关系，了解子群与陪集之间的关系。并能证明有限群的阶能被元的阶整除的定理，以及阶为素数的群一定为循环群的证明。

　　8、掌握不变子群(正规子群)的定义，能掌握一个群的子群是不变子群(正规子群)的充分必要条件的定理，理解商群的定义，能证明一个群同它的每一个商群同态的定理。了解核

　　的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群成不变子群(正规子群)的象的性质。并能将子群或不变子群(正规子群)的性质运用到循环群，变换酐等群之中，

　　9、掌握sylov定理的应用。

　　(三)环与城

　　1、理解交换环的定义和例子，熟悉单位元、逆元和零因子的性质并能熟练运用。掌握销去律与零因子的关系。

　　2、了解除环的定义，能举出域的例子，除环与加群、乘群的关系，熟悉无零因子环中的计算规则，掌握无零因子环中特征的性质

　　3、理解子环、子除环的定义，并能写出子整环、子域的概念，了解同态、同构环之间的性质，了解多项式成环，熟悉多项式环中的未定元、次数以及系数、无关未定元的作用。

　　4、掌握理想的定义、理解理想的构成，以及零理想、单位理想和主理想的构成，能判断一个子环是否为理想，和理想是否为主理想。了解什么是最大理想，且和剩余类环的关联。

　　5、掌握没有零因子的交换环一定是一个域的子环，了解商域的构成，并掌掘回构的环的商域也同构的定理，理解主理想环的概念和引理，能证明主理想环是唯一分解环。

　　6、理解欧氏环的定义，理解欧氏环，整数环都是主理想环与唯一分解环的证明，并能证明域一定是一个欧氏环。